题目内容
【题目】已知抛物线
和动直线
.直线
交抛物线
于
两点，抛物线在处的切线的交点为
.
（1）当
时，求以
为直径的圆的方程；
（2）求
面积的最小值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
（1）联立直线方程和抛物线方程，求出点A、B的坐标，进而可求出
，以及线段AB的中点坐标，因此可写出以
为直径的圆的方程；（2）先利用导数的几何意义求出
抛物线
在
处的切线方程，联立可得点N，再利用三角形面积公式，分别求出以及点N到直线AB的距离，即可表示出面积，最后由函数的单调性得出最小值。
设
.
联立
，消去
得
，设
.
解得
则
设线段的中点坐标为
，则，
，
则以为直径的圆的方程为.
（2）由
得
.
易得直线
，直线
联立
由（1）得
由（2）同理可得
.
由
，得
，
得
联立
得
，则
.
所以
，
.即
所以
点到直线
的距离
.
所以
显然，当
时，△
的面积最小，最小值为4.
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【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在
且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用
表示这3人中年龄在
的人数,求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
