Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）对函数进行求导后得到，对分情况进行讨论：、、、；

（2）由（1）知在上单调递减，不妨设，从而把不等式中的绝对值去掉得：，进而构造函数，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围。

（1），

当时，，所以在上单调递增；

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，，，所以在上单调递减；

，，所以在上单调递增.

（2）因为，由（1）得，在上单调递减，不妨设，

由得，

即.

令，

，只需恒成立，

即恒成立，

即，

即.因为（当且仅当时取等号），

所以实数的取值范围是.