Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，.

（1）证明：当点在上运动时，始终有平面平面；

（2）求锐二而角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由底面ABCD，证得，又由勾股定理，得，利用线面垂直的判定定理，得到平面PBC，再由面面垂直的判定定理，可得平面平面，即可得到结论；

（2）分别以CD，CF，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）由题意，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，

又因为，所以，，所以，

所以，从而得到．

又平面PBC，平面PBC，，所以平面PBC，

又平面，所以平面平面，

所以当点E在PB上运动时，始终有平面平面PBC.

（2）由条件知底面ABCD，且，

所以过点C作交AB于点F，分别以CD，CF，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），

所以，，，.

由（1）知为平面PBC的一个法向量，

因为，，

设平面PAB的一个法向量为，则，

即，令，则，所以，

所以，

故锐二面角的余弦值．