Question

【题目】已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果。

如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，

由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，

因为圆是以为直径，所以圆的半径为，

因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，

联立化简可得，整理得，

，，所以，

因为，所以，，

因为，所以，

因为，联立可得，，

因为为圆的直径，所以,

即，，，

，，，所以离心率。