Question

已知数列{

1

n

}的前n项和是S_n．
（Ⅰ）分别计算S₂-S₁，S₄-S₂的值，并比较S2n-S2n-1与

1

2

的大小（不必证明）；
（Ⅱ）求使S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）对于大于1的正整数n都成立的函数f（n），并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用已知条件计算S₂-S₁，S₄-S₂的值，推出S2n-S2n-1的值然后与

1

2

比较大小．
（Ⅱ）猜想S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）对于大于1的正整数n都成立的函数f（n）的表达式，然后利用数学归纳法证明推出的结论．

解答：解：（Ⅰ）S₂-S₁=

1

2

，S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
当n≥1时，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1项）≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，
当且仅当n=1时，等号成立．…（4分）
（Ⅱ）当n=2时，有1=f（2）（1+

1

2

-1）⇒f（2）=2，
n=3时，有

5

2

=f（3）（1+

1

2

+

1

3

-1）⇒f（3）=3，
由此猜想f（n）=n（n≥2）．…（6分）
下面用数学归纳法证明：
①n=2，3时，上面已证，猜想正确；
②设n=k （k≥2）时，f（k）=k即S₁+S₂+…+S_k-1=k（S_k-1成立
则S₁+S₂+…+S_k=k（S_k-1）+S_k
=（k+1）S_k-k=（k+1）（S_k+

1

k+1

-1）=（k+1）（S_k+1-1）
即n=k+1时，猜想也正确．
综上所述，存在f（n）=n，使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）对于大于1的正整数n都成立．  …（8分）

点评：本题考查数列求和，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．