Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

log 1 2 an

，cn=

bnbn+1

n+1 + n

，记Tn=c1+c2+…+cn，证明：Tn＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知，令n=1时，可求a₁，n≥2时，利用a_n=s_n-s_n-1可得an=

1

2

an-1，结合等比数列的通项公式可求
（2）由bn=

1

log 1 2 an

=

1

n

，代人cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和即可证明

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，
当n=1时，S₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

当n≥2时，S_n=1-a_n，S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得，s_n-s_n-1=a_n-1-a_n
∴an=

1

2

an-1
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

2n

证明：（2）∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 1 2n

=

1

n

∴cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a_n=s_n-s_n-1，转化数列的和与项之间的关系构造等比数列求解通项公式，数列的裂、项求和方法的应用是证明（2）的关键