Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿ•a_n，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

n+1

n

•an，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求使得T_n＞

5

2

成立的最小正整数n，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+(

1

2

)n-1，可化为2nan=2n-1an-1+1，可得b_n=b_n-1+1，则数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．易求b_n，进而可得a_n；
（2）由（1）可得cn=

n+1

n

an=（n+1）(

1

2

)n，利用错位相减法可求得T_n，通过赋值可求得第一个大于

5

2

的n值，通过作差可判断数列{T_n}单调递增，由此可得结论；

解答：解：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a1=

1

2

，
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+(

1

2

)n-1，
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1，
∵bn=2nan，∴即当n≥2时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

；
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=（n+1）(

1

2

)n，
所以Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n，

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1，
  由①-②得，

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）(

1

2

)n+1=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

n+3

2n

，
∴T1=1， T2=

7

4

，T3=

9

4

，T4=

41

16

＞

5

2

，
下面证明数列{T_n}是递增数列．
∵Tn=3-

n+3

2n

，∴Tn+1=3-

n+4

2n+1

，
∴Tn+1-Tn=

n+3

2n

-

n+4

2n+1

=

2n+6-n-4

2n+1

=

n+2

2n+1

＞0，
∴数列{T_n}单调递增，
所以，使得Tn＞

5

2

成立的最小正整数n=4．

点评：本题考查由递推式求数列通项、错位相减法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力．