Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n （n∈N⁺），对S_n表达式归纳猜想正确的是（　　）

• A．Sn=

  2n

  n+1

• B．Sn=

  2n-1

  n+1

• C．Sn=

  2n+1

  n+1

• D．Sn=

  2n

  n+2

Answer 1

分析：由已知条件求出a₂，a₃，算出S₁，S₂，S₃，然后找出它们与n的关系，由此归纳得到S_n．

解答：解：由a₁=1，S_n=n²a_n，
所以a1+a2=22a2，解得a2=

1

3

，
a1+a2+a3=32a3，解得a3=

1

6

，
所以S1=1=

2×1

1+1

，
S2=1+

1

3

=

4

3

=

2×2

2+1

，
S3=1+

1

3

+

1

6

=

9

6

=

6

4

=

2×3

3+1

，
…
由此可以归纳得到Sn=

2n

n+1

．
故选A．

点评：本题考查了归纳推理，归纳推理就是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想、再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，是基础题．