Question

（本小题共14分）已知函数其中常数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，若函数有三个不同的零点，求m的取值范围；
（3）设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）的单调递增区间为.（2）.
（3）是一个类对称点的横坐标.

试题分析：（1）由f^′(x)="2x-(a+2)+" ==
，能求出当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间．
（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f^′(x)="2x+" -6≥4-6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线．
（3）y=g(x)=(2x₀+ -6)(x-x₀)+ -6x₀+4lnx₀，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．
解：（1）由可知，函数的定义域为，
且.
因为，所以.
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为.
（2）当时，.
所以，当变化时，，的变化情况如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	单调递增	取极大值	单调递减	取极小值	单调递增

所以，
.
函数的图象大致如下：
 
所以若函数有三个不同的零点，.
（3）由题意,当时，，则在点P处切线的斜率；所以
.
令，
则，.
当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；
当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以在上不存在“类对称点”.
当时，，所以在上是增函数，故
所以是一个类对称点的横坐标.
点评：解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性质的灵活运用.