Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|
（I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由不等式的性质得：f（x）≥|a-1|，要使不等式f（x）≥2a恒成立，则|a-1|≥2a，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）≥4得，

x≤1 3-2x≥4

，或

1＜x＜2 1≥4

，或

x≥2 2x-3≥4

．
解得：x≤-

1

2

，或x≥

7

2

，故原不等式的解集为{x|x≤-

1

2

，或x≥

7

2

}．
（Ⅱ）由不等式的性质得：f（x）≥|a-1|，
要使不等式f（x）≥2a恒成立，则|a-1|≥2a，
解得：a≤-1或a≤

1

3

，
所以实数a的取值范围为(-∞，

1

3

]．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．