题目内容

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|
a
-
b
|=
2
，求证：
a
⊥
b
；
（2）设
c
=（0，1），若
a
+
b
=
c
，求α，β的值．
（1）由
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
则
a
-
b
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
由|
a
-
b
|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得cosαcosβ+sinαsinβ=0．
所以
a
•
b
=0．即
a
⊥
b
；
（2）由
a
+
b
=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)
得
cosα+cosβ=0①
sinα+sinβ=1②
，①2+②2得：cos(α-β)=-
1
2
．
因为0＜β＜α＜π，所以0＜α-β＜π．
所以α-β=
2
3
π，α=
2
3
π+β，
代入②得：sin(
2
3
π+β)+sinβ=
3
2
cosβ+
1
2
sinβ=sin(
π
3
+β)=1．
因为
π
3
＜
π
3
+β＜
4
3
π．所以
π
3
+β=
π
2
．
所以，α=
5
6
π，β=
π
6
．
练习册系列答案
相关题目
定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），点N（x，y）满足
ON
=a⊙b（其中O为坐标原点），则|
ON
|2的最大值为（　　）
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
与k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），则（　　）
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．
（2005•朝阳区一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）设|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

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