题目内容
13．已知不等式$（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{a}{y}）≥25$对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）| A． | $\frac{625}{16}$ | B． | 16 | C． | $\frac{25}{16}$ | D． | 18 |
分析 利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）2，然后解不等式即可
解答 解：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）2，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）2，
∵不等式$（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{a}{y}）≥25$对任意正实数x，y恒成立，
∴（$\sqrt{a}$+1）2≥25，
即$\sqrt{a}$+1≥5，
则a≥16，
即正实数a的最小值为16，
故选：B．
点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值为（$\sqrt{a}$+1）2是解决本题的关键
练习册系列答案
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| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | D． | 1 |
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| A． | （$\frac{3}{2}$，+∞） | B． | （-∞，-2）∪（2，+∞） | C． | （-∞，-2） | D． | （2，+∞） |