Question

18．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
（II）若$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}≥|{2x-1}|-|{x+2}|$恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由基本不等式可得；
（Ⅱ）问题转化为|2x-1|-|x+1|≤4，去绝对值化为不等式，解不等式可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时“=”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，
∴$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥9，
故$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}≥|{2x-1}|-|{x+2}|$恒成立，
则|2x-1|-|x+2|≤9，
当x≤-2时，不等式化为1-2x+x+2≤9，解得-6≤x≤-2，
当-2＜x＜$\frac{1}{2}$，不等式化为1-2x-x-2≤9，解得-2＜x＜$\frac{1}{2}$，
当x≥$\frac{1}{2}$时，不等式化为2x-1-x-2≤9，解得$\frac{1}{2}$≤x≤12
综上所述x的取值范围为[-6，12]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．