Question

19．定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.2}=2，{-2.6}=-2．当x∈（0，n]（n∈N^*）时，函数f（x）的值域记为A_n，记A_n中元素的个数为a_n，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$=$\frac{20}{11}$．

Answer 1

分析 推导出a_n=a_n-1+n，a_n-a_n-1=n，从而利用累加法得到a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，进而得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此能求出$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$．

解答 解：由题意知：当n=1时，∵x∈（0，1]，∴{x}=1，∴{x{x}}=1，∴A₁={1}，a₁=1；
当n=2时，∵x∈（1，2]，∴{x}=2，∴{x{x}}∈（2，4]，∴A₂={1，3，4}，a₂=3；
当n=3时，∵x∈（2，3]，∴{x}=3，∴{x{x}}={3x}∈（6，9]，∴A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
当n=4时，∵x∈（3，4]，∴{x}=4，∴{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
当n=5时，∵x∈（4，5]，∴{x}=5，∴{x{x}}={5x}∈（20，25]，
∴A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此类推：a_n=a_n-1+n，∴a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1个式子相加得，a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
解得${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
故$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$）=2（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{20}{11}$．
故答案为：$\frac{20}{11}$．

点评 本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．