Question

9．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为4．

Answer 1

分析 取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y²=2px的焦点，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标为$\frac{p}{2}$，由条件即可得到p=4．

解答 解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，
垂足分别为P、Q、M，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）
=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心N到准线的距离等于半径，
即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，
抛物线y²=2px的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
设直线AB的方程为y=2（x-$\frac{p}{2}$），即x=$\frac{1}{2}$y+$\frac{p}{2}$，
与抛物线方程y²=2px联立，消去x，得y²-py-p²=0
由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为$\frac{p}{2}$，
即有p=4，
故答案为：4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．