Question

12．已知关于x的方程x³-ax²-x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（-∞，1）．

Answer 1

分析 分离参数a=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x-$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$交点个数判断即可．

解答 解：x³-ax²-x+1=0，
a=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，
令y=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，
y′=$\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$，
x³+x-2=0，x=1
x＜0时y′＞0，
x＞1时，y′＞0，
0＜x＜1时，y′＜0，
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，
x=1时，函数取的极小值为1-1+1=1
∴y=a，与y=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$交点为1个时，a＜1，
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了函数的思想，运用求解零点问题，关键构造函数，利用图象交点问题求解，属于中档题．