Question

【题目】已知是曲线上的动点，且点到的距离比它到x轴的距离大1.直线与直线的交点为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）已知是曲线上不同的两点，线段的垂直垂直平分线交曲线于两点，若的中点为，则是否存在点，使得四点内接于以点为圆心的圆上；若存在，求出点坐标以及圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)存在,,.

【解析】

(1)由点到的距离比它到轴的距离大1可知, 点的轨迹为抛物线,即可求出轨迹方程.

(2) 设,点差法结合中点,可求出,从而可求直线的方程是,直线的方程是,分别与联立,求出交点的坐标,求出到四点距离均相等的点即为圆心,该距离即为半径,即可求出圆的方程.

解:(1)因为点到的距离比它到轴的距离大1,

则点到的距离与点到直线的距离相等.故点的轨迹为抛物线

焦点为,则.即曲线的轨迹方程为.

（2）联立,解得,故.

设,则,根据点差法,两式相减整理得

.所以直线的方程是

直线的斜率为 ,则直线的方程是

联立,解得

从而有.联立,得,则

设的中点为,则,从而有

故四点共圆且为圆心,故圆的方程是.