Question

【题目】如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．

（Ⅰ）若平面ABCD平面AEBF，证明平面BCF平面ADF；

（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据为矩形，结合面面垂直性质定理可得平面，即，结合，即可得平面，最后根据面面垂直判定定理可得结果；（Ⅱ）首先易得平面，再证平面，进而面面平行，延长到点，使得，可得是平行四边形，过点作的平行线，交于点，此即为所求，通过可得结果.

（Ⅰ）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，

∴BC⊥平面AEBF，

又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF.

∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，

∴AF⊥平面BCF

又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.

（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵和均为等腰直角三角形，且90°，

∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，

∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.

延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，

∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.

过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）

∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点.

又BE=，∴EG=，又，

，

故..