题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，离心率为 $数学公式$ ，在x轴负半轴上有一点B，且 $数学公式$ ．
（1）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线 $数学公式$ 相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

解：（1）由题意 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以|F₁F₂|=a
∵|AF₁|=|AF₂|=a， $\text{[math]}$ ，∴F₁为BF₂的中点，
∴|AF₁|=|AF₂|=|F₁F₂|=a
∴△ABF₂的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，半径r=|F₁A|=a…（3分）
又过A、B、F₂三点的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，所以 $\text{[math]}$
∴a=2，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）由（1）知F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）
将直线方程与椭圆方程联立 $\text{[math]}$ ，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ …（8分）
假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
又MN的方向向量是（1，k），故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
即 $\text{[math]}$
由已知条件知k≠0且k∈R，
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
∴ $\text{[math]}$ ，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以|F₁F₂|=a，利用 $\text{[math]}$ ，可得F₁为BF₂的中点，从而可得△ABF₂的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，半径r=|F₁A|=a，根据过A、B、F₂三点的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，利用点到直线的距离公式，即可确定椭圆方程；
（2）由（1）知F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，所以 $\text{[math]}$ ，可得m，k之间的关系，从而可得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．