Question

（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。（I）求a与b；（II）设椭圆的左，右焦点分别是F₁和F₂，直线且与x轴垂直，动直线轴垂直，于点P，求线段PF₁的垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（I）由椭圆

得：     （1）

又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

即原点到直线的距离为b，所以代入到（1）中得

所以，                                                        …………6分

   （II）方法一：由得F₁，F₂点的坐标分别为（-1，0），（1，0），

    设M点的坐标为（x，y），由题意：P点坐标为（1，y），因为线段PF₁的垂直平分线与的交点为M，所以

    故线段PF₁的垂直平分线与的交点M的轨迹方程是，

    该轨迹是以F₁为焦点，为准线的抛物线。……13分

    方法二：因为点M是线段PF₁的垂直平分线与的交点，故M到点F₁的距离与到P点距离即到的距离相等，故M点轨迹是以F₁（-1，0）为焦点，为准线的抛物线，故其方程为

    所以，线段PF₁的垂直平分线与的交点M的轨迹方程是，该轨迹是以F₁为焦点，为准线的抛物线。