Question

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$．
（1）求曲线C的直角坐标方程； 
（2）求直线l与曲线C相交弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入极坐标方程即可得出答案；
（2）把直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程化简，利用参数的几何意义得出AB的长．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得，$\frac{5}{2}{t^2}+\sqrt{6}t-1=0$，
所以$△={（{\sqrt{6}}）^2}-4×\frac{5}{2}×（{-1}）=16＞0$，
设方程的两根t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{6}}}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{2}{5}$，
∴$AB=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{5}}）-4×（{-\frac{2}{5}}）}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，属于中档题．