Question

20．已知O为坐标原点，点A（-1，2），若点M（x，y）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}\right.$上的一个动点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [0，1]
• C． [1，3]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如图，
令z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=-x+2y，得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z．
由图可知，当直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于z=-1+2=1；
当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，z=2×2=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$的取值范围是[1，4]．
故选：D

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．