Question

12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）求C的参数方程；
（2）若直线l：$\sqrt{3}$x-y+m=0与曲线C相切，求切点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，把曲线C化为直角坐标方程，再利用cos²α+sin²α=1，即可得出参数方程；
（2）根据直线l：$\sqrt{3}$x-y+m=0与曲线C相切，可得$\frac{|0-1+m|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得m，把直线方程与圆的方程联立可得切点坐标．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，化为x²+y²=2y，配方为x²+（y-1）²=1．
可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）∵直线l：$\sqrt{3}$x-y+m=0与曲线C相切，∴$\frac{|0-1+m|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得m=3或-1．
当m=3时，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{\sqrt{3}x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得切点$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
当m=-1时，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{\sqrt{3}x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得切点$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴切点为$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$或$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
化为极坐标：$（\sqrt{3}，\frac{2π}{3}）$，或$（1，\frac{π}{6}）$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．