Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率，求出双曲线的几何量，得到双曲线方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点，
可得双曲线的半焦距为：c=$\sqrt{7}$，
椭圆的离心率为：$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则双曲线的离心率为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$，可得a=2，则b=$\sqrt{3}$，
所求的双曲线方程为：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．