Question

3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．
（2）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB坐标，求出线段的长度即可．

解答 解：（1）因为C的焦点在x轴上且长轴长为4，
故可设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0），
因为点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C上，所以$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{4b}^{2}}$=1，
解得b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由题意直线l的斜率是1，过（$\sqrt{3}$，0），
故直线l的方程是：y=x-$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，
故x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的化简求解，考查转化思想以及计算能力．