Question

两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn},c1=11, 又数列5，8，11，……的通项公式为an=3n+2,数列3，7，11，……的通项公式为bn=4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，且d=12.∴cn=12n－1 又∵a100=302,b100=399,∴cn=12n－1＜302 得n≤25,可见已知两数列共有25个相同的项. 解法二：∵an=3n+2,bn=4n－1,设an=bm， 则有3n+2=4m－1(n,m∈N*)，即n=m－1(n,m∈N*) 要使n为正整数，m必须是3的倍数. 设m=3k(k∈N*),代入前式得n=4k－1, 又∵1≤3k≤100,且1≤4k－1≤100,解得1≤k≤25,∴共有25个相同的项.