题目内容
已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=
m-1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r-1．
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100 解得
≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=
| 4 |
| 3 |
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r-1．
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100 解得
| 1 |
| 2 |
| 101 |
| 4 |
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．
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