Question

已知两个等差数列5，8，11，…；                                      ①

3，7，11，….                                                                ②

它们的项数为100项，请问它们有多少个彼此具有相同数值的项.

Answer 1

思路解析：求出两个数列的通项公式，令两式相等，发现项数的关系即得.

解法一：由数列①，得a_n=3n+2，由数列②得a_m=4m-1.

其中1≤n≤100，1≤m≤100，

据题意有a_n=a_m，即3n+2=4m-1，

∴n=m-1.

由于n、m均为自然数，必有m=3t，t∈N^*，

即n=4t-1.

∴

由于t∈N^*，故最大的t值是25.

因此，它们有25个数值相同的项.

解法二：设两个数列的共同项组成新数列｛c_n｝，则c₁=11.

又数列①的通项公式a_n=3n+2.

数列②的通项公式b_n=4n-1.

∴数列｛c_n｝仍为等差数列，且公差d=12.

c_n=11+（n-1）×12=12n-1，而a₁₀₀=302，b₁₀₀=399.

∴c_n=12n-1≤302，得n≤25.25.

因此，两数列共有25个相同的项.