Question

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和．

Answer 1

分析：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，或由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．

解答：解：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a_n}，则a₁=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a_n}的公差d=3×4=12，
∴a_n=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a_n=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N^*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a_n}与{b_n}，则a_n=3n+2，b_n=4n-1．
设{a_n}中的第n项与{b_n}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

4

3

m-1．
又m、n∈N^*，∴设m=3r（r∈N^*），
得n=4r-1．
根据题意得

1≤3r≤100 1≤4r-1≤100

解得1≤r≤25（r∈N^*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S₂₅=11×25+

25×24

2

×12=3875．

点评：解法1利用了等差数列的性质，解法2利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力要求较高．