Question

11．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$所在的直线分别是l₁，l₂．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，试探讨l₁与l₂的关系；
（2）试探讨（1）的逆命题是否成立．

Answer 1

分析 （1）将条件两边平方，化简可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可得直线l₁与l₂垂直；
（2）（1）的逆命题：若直线l₁⊥l₂，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，也成立．由向量垂直的条件和完全平方公式，即可得到结论．

解答 解：（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
即为（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²，
即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
即有直线l₁与l₂垂直；
（2）（1）的逆命题：若直线l₁⊥l₂，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，也成立．
由直线l₁⊥l₂，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方．考查推理能力，属于基础题．