题目内容

已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2。点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC。
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的余弦值。
解：（1）∵点A，D分别是、的中点
∴且
∴
∴
又，
∴面ABCD
∴
∵
∴BC⊥平面PAB
∵平面
∴。
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
则D（-1，0，0），C（-2，1，0），P（0，0，1）
∴=（-1，1，0），=（1，0，1）
设平面PCD的法向量为
则
令，得
∴
显然，是平面ACD的一个法向量
∴
∴二面角的余弦值是。
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点P(1，
2
2
)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+
1
3
n=0(m，n∈R)交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点P(1，
2
2
)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+
1
3
n=0(m，n∈R)交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
则
（ⅰ）f（f（x））=
1
1
；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数f（x）是偶函数；
②存在xi∈R（i=1，2，3），使得以点（xi，f（xi））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在xi∈R（i=1，2，3，4），使得以点（xi，f（xi））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形．
其中，所有真命题的序号是
①③
①③
．
（2006•静安区二模）已知动圆过定点F(
1
2
，0)，且与定直线l：x=-
1
2
相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点O为坐标原点，P、Q两点在动点M的轨迹上，且满足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面积；
（3）设一直线l与动点M的轨迹交于R、S两点，若
OR
•
OS
=-1且2
2
≤|RS|＜4
14
，试求该直线l的倾斜角的取值范围．
（2012•普陀区一模）给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：
（i）a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac
?a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）?（a2-b2）•c2=（a2-b2）（a2+b2）?c2=a2+b2
故△ABC是直角三角形．
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形．
综上可知，△ABC是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果
等腰或直角三角形
等腰或直角三角形
．

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