题目内容

（2006•静安区二模）已知动圆过定点F(
1
2
，0)，且与定直线l：x=-
1
2
相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点O为坐标原点，P、Q两点在动点M的轨迹上，且满足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面积；
（3）设一直线l与动点M的轨迹交于R、S两点，若
OR
•
OS
=-1且2
2
≤|RS|＜4
14
，试求该直线l的倾斜角的取值范围．
分析：（1）由题意设出M的坐标，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列式得到M的轨迹；
（2）由OP⊥OQ，分别设直线OP的方程为：y=kx，直线OQ的方程为：y=-
1
k
x，和抛物线方程联立解得P和Q的坐标，由OP=OQ求出k的值，则点P和Q的坐标可求，然后直接代入三角形面积公式求解；
（3）设出R和S的坐标，由
OR
•
OS
=-1得到两点的纵坐标的乘积，求出|RS|的长度（用含有两点的纵坐标表示），求解不等式2
2
≤|RS|＜4
14
即可得到k的范围，从而得到直线的倾斜角的范围．
解答：解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），因为动圆过定点F(
1
2
，0)，且与定直线l：x=-
1
2
相切，
所以M到直线l：x=-
1
2
的距离等于M到F的距离，
于是有(x+
1
2
)2=(x-
1
2
)2+y2
化简得y2=2x，即动圆圆心M的轨迹方程为y2=2x；
（2）因为OP⊥OQ，设直线OP的方程为：y=kx，
则直线OQ的方程为：y=-
1
k
x，
解得点P、Q的坐标分别为(
2
k2
，
2
k
)，(2k2，2k3)，
由OP=OQ，得
4
k2
+
4
k4
=4k4+4k6，k8=1，可得点P、Q坐标分别为（2，2），（2，-2）
所以，S△POQ=
1
2
|OP|2=4；
（3）设R(
y12
2
，y1)，S(
y22
2
，y2)，由
OR
•
OS
=-1解得y1y2=-2，|RS|=
(y12-y22)2
4
+(y1-y2)2
=
(y1+y2)2(y1-y2)2+4(y1-y2)2
2

ⅰ）直线与x轴垂直时，R(1，
2
)，S(1，-
2
)，符合
ⅱ）设RS斜率为k，倾斜角为θ，y1+y2=
2
k
，|RS|=2
1
k4
+
3
k2
+2
，
由2
2
≤|RS|＜4
14
，得2≤
1
k4
+
3
k2
+2≤56，
解得k≥
6
6
或k≤-
6
6
．
所以，直线倾斜角θ的取值范围是π-arctan
6
6
≥θ≥arctan
6
6
．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力属于压轴题．
练习册系列答案
相关题目
（2006•静安区二模）过点A（0，2）且与直线3x+2y-1=0垂直的直线方程为
2x-3y+6=0
2x-3y+6=0
．
（2006•静安区二模）若点P（sinα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第
四
四
象限．
（2006•静安区二模）对于集合A={x|x2-x-6≤0}和B={x||x-a|≤1}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是
-1≤a≤2
-1≤a≤2
．
（2006•静安区二模）在一个袋子里有18个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是
27
95
27
95
（用分数表示）．
（2006•静安区二模）方程log2（2-3•2x）=2x+1的解x=
-1
-1
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网