Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P(1，

2

2

)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知a=

2

b，所以

x2

2b2

+

y2

b2

=1，椭圆经过点P(1，

2

2

)，代入可得b=1，a=

2

，由此可知所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1.
（2）首先求出动直线过（0，-

1

3

）点．当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2；当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

．由此入手可求出点T的坐标．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

b∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1
又∵椭圆经过点P(1，

2

2

)，代入可得b=1，
∴a=

2

，故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1.（3分）
（2）首先求出动直线过（0，-

1

3

）点．（5分）
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即两圆相切于点（0，1），因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．事实上，点T（0，1）就是所求的点．（7分）
证明如下：
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
记点A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

（9分）又因为

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x 2，y2-1)所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细求解．