Question

（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

则
（ⅰ）f（f（x））=

1

；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数f（x）是偶函数；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形．
其中，所有真命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：（ⅰ）对x分类：x∈Q和x∈

C

Q R

，再由解析式求出f（f（x））的值；
（ⅱ）①对x分类：x∈Q和x∈

C

Q R

，分别判断出f（-x）=f（x），再由偶函数的定义判断出①正确；
②由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；
③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．

解答：解：（ⅰ）由题意知，f(x)=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，
当x∈Q时，f（x）=1∈Q，则f（f（x））=1，
当x∈

C

Q R

时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，
综上得，f（f（x））=1；
（ⅱ）①当x∈Q时，则-x∈Q，故f（-x）=1=f（x），
当x∈

C

Q R

时，则-x∈

C

Q R

，故f（-x）=0=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，①正确；
②根据f(x)=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，做出函数的大致图象：
假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图
故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在
另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，
故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，②错误；
③根据②做出的图形知，
取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，
可以做出以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，③正确．
故答案为：1，①③．

点评：本题考查了分段函数的求值，奇偶性的判断，以及数形结合思想和分类讨论的应用，难度较大．