Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P(1，

2

2

)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义及等腰直角三角形的性质可得a=

2

b，在把点P的坐标代人椭圆方程即可得出b²，进而得到椭圆的方程；
（2）先利用特殊位置的两个圆找出点T（0，1），在证明点T符合条件即可．对直线l的斜率分类讨论，当斜率存在时，把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴b=c，∴a=

2

b，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
又∵椭圆经过点P(1，

2

2

)，代入得

1

2b2

+

( 2 2 )2

b2

=1，解得b=1，
∴a=

2

，
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由动直线mx+n(y+

1

3

)=0，得到动直线l过定点（0，-

1

3

）．                             
当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2．
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即两圆相切于点（0，1），
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．
事实上，点T（0，1）就是所求的点．                                      
证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
记点A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因为

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x 2，y2-1)，
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．

点评：本题综合考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆的方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系．注意分类讨论的思想方法的运用、特殊位置探究再证明．本题需要较强的推理能力和计算能力．