Question

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃.问：是否存在常数λ，使得k₁＋k₂＝λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)由P在椭圆上得，＋＝1①

依题设知a＝2c，则b²＝3c²②

②代入①解得c²＝1，a²＝4，b²＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意可设直线AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝k(x－1)③

代入椭圆方程3x²＋4y²＝12并整理，

得(4k²＋3)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有

在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．

从而k₁＝

由于A，F，B三点共线，则有k＝k_AF＝k_BF，即有

④代入⑤得k₁＋k₂＝2k－·

＝2k－1，

又k₃＝k－，所以k₁＋k₂＝2k₃.故存在常数λ＝2符合题意．