Question

已知向量

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）求出

a

•

b

，并根据两角差的正弦公式可得到f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，所以带入-

π

4

即可求f（-

π

4

）；
（Ⅱ）令2x-

π

4

=t，则得到函数y=

2

sint，该函数的单调递增区间为t∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，即-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解该不等式即得函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）由x的范围求出2x-

π

4

的范围，根据正弦函数的图象即可求出函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，最小值，以及对应x值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx，-cosx）•（2cosx，2cosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)；
∴f（-

π

4

）=-

2

sin(

π

2

+

π

4

)=-1；
（Ⅱ）解-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得，-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间为[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅲ）x∈[0，

π

2

]，∴(2x-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]；
∴2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f（x）取最大值

2

；
2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）取最小值-1．

点评：考查数量积的坐标运算，两角差的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，以及根据正弦函数的图象求正弦函数的最大、最小值．