Question

13．如图，函数y=2$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象与y轴交于点（0，$\sqrt{6}$），周期是π．
（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）已知点A（$\frac{π}{2}$，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]时，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由图象与y轴交于点（0，$\sqrt{6}$），周期是π．可得ω和φ的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求函数图象的对称轴方程和对称中心
（2）点Q（x₀，y₀）是PA的中点，点A（$\frac{π}{2}$，0），利用中点坐标求出P的坐标，点P是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简，根据y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]，求解x₀的值．

解答 解：（1）由题意，周期是π，即$ω=\frac{2π}{π}=2$．
由图象与y轴交于点（0，$\sqrt{6}$），∴$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$cosφ，
可得cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
故得函数解析式f（x）=$2\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）．
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，可得对称轴方程为：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{8}$，（k∈Z）
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，可得对称中心为（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}$，0），（k∈Z）
（2）由题意：点Q（x₀，y₀）是PA的中点，点A（$\frac{π}{2}$，0），
∴P的坐标为（$2{x}_{0}-\frac{π}{2}$，2y₀），
由y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得：P的坐标为（$2{x}_{0}-\frac{π}{2}$，$\sqrt{6}$），
又∵点P是该函数图象上一点，
∴$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$cos[2×$（2{x}_{0}-\frac{π}{2}）+\frac{π}{4}$]，
整理可得：cos（$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}，\frac{13π}{4}$]，
故有：$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$=$\frac{7π}{4}$或$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$=$\frac{9π}{4}$，
解得：x₀=$\frac{5π}{8}$或${x}_{0}=\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．