Question

12．已知函数数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，x∈R，且f（α）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，若|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则函数的单调递增区为（　　）

• A． [-$\frac{π}{2}$+2kπ，π+2kπ]，k∈Z
• B． [-$\frac{π}{2}$+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
• C． [π+2kπ，$\frac{5}{2}$π+2kπ]，k∈Z
• D． [π+3kπ，$\frac{5}{2}$π+3kπ]，k∈Z

Answer 1

分析 由题意结合三角形的周期性和图象待定系数可得ω，整体求解2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，且f（α）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（ωα-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得sin（ωα-$\frac{π}{6}$）=-1，
同理可得sin（ωβ-$\frac{π}{6}$）=0，
由|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$和三角函数图象可得$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{4}$，
解得ω=$\frac{2}{3}$，∴f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得3kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤3kπ+π
∴函数的单调递增区间为：[3kπ-$\frac{π}{2}$，3kπ+π]k∈Z
故选：B．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及周期性和单调性，属中档题．