Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于点A（x₀，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=-1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D．
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的二次函数的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，二次函数图象上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．
（4）当

1

2

＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出点B的坐标，从而求出A的坐标，进而求出D点的坐标；（2）先设出抛物线的解析式，代入求出即可；
（3）通过讨论y的范围，从而求出y的表达式；（4）当

1

2

＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大，求出即可．

解答： 解：（1）如图示：

∵点A与点B关于直线x=-1对称，点B的坐标是（2，0），
∴点A的横坐标是

x0+2

2

=-1，x₀=-4，
故点A的坐标是（-4，0），
∵tan∠BAC=2即

OC

|OA|

=2，可得OC=8，
∴C（0，8），
∵点A关于y轴的对称点为D，
∴点D的坐标是（4，0）．
（2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），
代入点C（0，8），解得a=1，
∴抛物线的解析式是y=x²-6x+8；
（3）∵抛物线y=x²-6x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，而抛物线的顶点为（3，-1），
当y＞3时，S=4（y-3）=4y-12，
当-1≤y＜3时，S=4（3-y）=-4y+12，
（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，
且当

1

2

＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大，
∴当x=3，y=-1时，h=4S=|MN|h=4×4=16，
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．

点评：本题考查了二次函数的性质，阅读量大，具有一定的难度，本题属于中档题．