题目内容
【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
，
，且
，E为PD中点.
（I）求证：
平面ABCD；
（II）求二面角B-AE-C的正弦值.
【答案】（I）见解析（II）
【解析】
（I）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出
平面PAB以及
平面
，进而得到
和
，从而推得线面垂直。
（II）根据已知条件，以A为原点，AB为
轴，AD为
轴，AP为
轴建立直角坐标系，分别求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值。
解：（I）证明：∵底面ABCD为正方形，
∴
，又
，
，
∴平面PAB，∴．
同理，∴
平面ABCD
（II）建立如图的空间直角坐标系A-xyz，
则
，
，
，，
易知
设
为平面ABE的一个法向量，
又
，
，∴
令
，
，得
.
设
为平面AEC的一个法向量，又
∴
令，得
.
∴二面角B-AE-C的正弦值为.
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