Question

6．已知数列{a_n}，{b_n}与函数f（x），{a_n}是首项a₁=15，公差d≠0的等差数列，{b_n}满足：b_n=f（a_n）．
（1）若a₄，a₇，a₈成等比数列，求d的值；
（2）若d=2，f（x）=|x-21|，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）若d=-1，f（x）=e^x，T_n=b₁•b₂•b₃…b_n，问n为何值时，T_n的值最大？

Answer 1

分析 （1）由a₄，a₇，a₈成等比数列，可得${a}_{7}^{2}$=a₄•a₈，可得（15+6d）²=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．
（2）依题意，a_n=15+2（n-1）=2n+13，b_n=|2n-8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．
（3）依题意，a_n=15-（n-1）=16-n，${b_n}={e^{16-n}}$，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₄，a₇，a₈成等比数列，∴${a}_{7}^{2}$=a₄•a₈，∴（15+6d）²=（15+3d）（15+7d），化为：d²+2d=0，
∵d≠0，∴d=-2．
（2）依题意，a_n=15+2（n-1）=2n+13，b_n=|2n-8|，
∴${b_n}=|2n-8|=\left\{\begin{array}{l}8-2n，n≤4\\ 2n-8，n＞4\end{array}\right.$，
∴${S_n}=|{b_1}|+|{b_2}|+|{b_3}|+…+|{b_n}|=\left\{\begin{array}{l}7n-{n^2}，n≤4\\{n^2}-7n+24，n＞4\end{array}\right.$．
（3）依题意，a_n=15-（n-1）=16-n，${b_n}={e^{16-n}}$，
${T_n}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}={e^{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}={e^{-\frac{1}{2}（{n^2}-31n）}}$，
∴当n=15或16时，T_n最大．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性、绝对值数列求和问题，考查了推理能力与就计算能力，属于中档题．