题目内容

14．求函数f（x）=-x（x-2）2的极值．

分析 求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R．
f（x）=-x（x2-4x+4）=-x3+4x2-4x，
∴f′（x）=-3x2+8x-4=-（x-2）（3x-2），
令f′（x）=0得x=$\frac{2}{3}$或x=2．
列表：

x （-∞，$\frac{2}{3}$） $\frac{2}{3}$ （$\frac{2}{3}$，2） 2 （2，+∞）
 f′（x）- 0+ 0-
 f（x）↘ 极小值↗ 极大值↘
从表中可以看出，
当x=$\frac{2}{3}$时，函数有极小值，
且f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{2}{3}$${（\frac{2}{3}-2）}^{2}$=-$\frac{32}{27}$．
当x=2时，函数有极大值，
且f（2）=-2（2-2）2=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

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