Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=xsinx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=-$\frac{2b}{3a}$，f′（x）=3ax²-3apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（$\frac{p}{2}$）=$\frac{3}{2}$sinp，根据p的范围即可判断．

解答 解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，
∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax³+bx²+cx，f′（x）=3ax²+2bx+c，
f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=-$\frac{2b}{3a}$，f′（x）=3ax²-3apx，
∵p∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴q=psinp＞0，
f（p）＞f（0），
即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a＜0，b＞0．
∴f′（x）≤f′（$\frac{p}{2}$），
∵q=f（p）=ap³+bp²=psinp，
∴ap²+bp=$\frac{bp}{3}$=sinp，
即b=$\frac{3sinp}{p}$，a=-$\frac{2b}{3p}$=-$\frac{2sinp}{{p}^{2}}$，
∴f′（$\frac{p}{2}$）=-$\frac{3}{4}$ap²=$\frac{3}{2}$sinp，p∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴p=$\frac{π}{2}$时，f′（$\frac{p}{2}$）最大，最大值是$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值、最值，同时考查构造函数求极值和最值，三角函数的化简，考查较强的运算能力和推理能力，是一道中档题．