Question

13．已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点M为PC中点，过A、M的平面α与此四棱锥的面相交，交线围成一个四边形，且平面α⊥平面PBC．
（1）在图中画出这个四边形（不必说出画法和理由）；
（2）求平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中点N，连接AN，DM，MN，则MN∥AD，由公理2的推论可得平面α；
（2）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴建立如图直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，进一步求得平面α与平面ABM的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）取PB中点N，连接AN，DM，MN，
则MN∥AD，MN与AD确定平面α；
（2）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴建立如图直角坐标系，
∵PA=AB=2，AD=1，点M为PC中点，N为PB中点，
∴$A（0，0，0），M（\frac{1}{2}，1，1），P（0，0，2），B（0，2，0），N（0，1，1）$，
$\overrightarrow{AM}=（\frac{1}{2}，1，1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，
设平面AMB的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow n=（2，0，-1）$．
平面α的法向量$\overrightarrow{PB}=（0，2，-2）$，
∴平面α与平面AMB所成二面角的余弦值$cosθ=\frac{{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PB}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用平面法向量求二面角的平面角，是中档题．