Question

17．设函数f（x）=e^x•[-x²+（4a+2）x-3a²-4a-2]，其中e为自然对数的底数．
（1）当a≠0时，试求函数f（x）的单调区间；
（2）当0＜a＜1时，记函数f（x）的导函数为f′（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有|f′（x）|≤a•e^x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的符号，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为x∈[1-a，1+a]时，恒有|（x-a）（x-3a）|≤a成立，令g（x）=（x-a）（x-3a），x∈[1-a，1+a]，0＜a＜1，求出g（x）的值域，通过比较g（1-a）和-g（2a）的大小，求出|g（x）|的值域，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x•[-x²+（4a+2）x-3a²-4a-2]，
f′（x）=e^x（-x²+4ax-3a²）=-e^x（x-a）（x-3a），
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：a＜x＜3a，令f′（x）＜0，解得：x＞3a或x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）递减，在（a，3a）递增，在（3a，+∞）递减；
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：3a＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a或x＜3a，
∴f（x）在（-∞，3a）递减，在（3a，a）递增，在（a，+∞）递减；
（2）f′（x）=-e^x（x-a）（x-3a），
若x∈[1-a，1+a]时，恒有|f′（x）|≤a•e^x成立，
即x∈[1-a，1+a]时，恒有|（x-a）（x-3a）|≤a成立，
令g（x）=（x-a）（x-3a），x∈[1-a，1+a]，0＜a＜1，
函数g（x）的对称轴是x=2a，
∵0＜a＜1，∴1-a＞0，
而2a-（1-a）=3a-1＞（1+a）-2a=1-a，
故g（x）的最大值是g（1-a）=8a²-6a+1，最小值是g（2a）=-a²，
∴g（x）在[1-a，1+a]的值域是[-a²，8a²-6a+1]，
①g（1-a）＞-g（2a）时，0＜a＜$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$或$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$＜a＜1，
|g（x）|的值域是[0，8a²-6a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜\frac{3-\sqrt{2}}{7}或\frac{3+\sqrt{2}}{7}＜a＜1}\\{{8a}^{2}-6a+1≤a}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{7-\sqrt{17}}{16}$＜a＜$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$或$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$＜a＜$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$，
②g（1-a）≤-g（2a）时，$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$≤a≤$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$，
|g（x）|的值域是[0，a²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-\sqrt{2}}{7}＜a＜\frac{3+\sqrt{2}}{7}}\\{{a}^{2}≤a}\end{array}\right.$，解得：$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$≤a≤$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$，
综上：$\frac{7-\sqrt{17}}{16}$＜a＜$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，求函数f（x）在区间[1-a，1+a]上的值域是解题的难点．