Question

（13分）（理科）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
（1）若点的坐标分别是，求的最大值；
（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点是点在轴上的射影，点满足条件：，求线段的中点的轨迹方程.

Answer 1

（1）4
（2）

(理科)解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，

故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得.由
得，解得 a =" 2" ,c = ，从而 b = 1，
椭圆方程为 .又易知C，D两
点是椭圆的焦点，所以,
从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4。…………………………………………6分
（II）如图（20）图，设
.因为，故     ①     因为
所以  .    ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以
又因为 ，结合①，②得
  
故动点P的轨迹方程为……………………………………….13分