Question

（本小题满分13分）
已知椭圆C：的左、右顶点的坐标分别为,，离心率。
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为,，点P是其上的动点，
（1）当 内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（2）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上。

Answer 1

（1）
（2）．直线与直线的交点住直线上．

解：（Ⅰ）椭圆的方程       ……3分
（Ⅱ）（1），设边上的高为，
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．
所以                                       ……5分
当P在椭圆上顶点时，最大为，
故的最大值为，
于是也随之最大值为
此时内切圆圆心的坐标为……7分
（2）将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的C交点，
由根系数的关系，得．         ……9分
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．…11分
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，


因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上．     ……………13分