Question

（本小题满分14分）已知函数，，其中且．为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极小值；

（Ⅱ）当时，若函数存在三个零点，且，试证明：

；

（Ⅲ）是否存在负数，对，，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是；；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接利用导数可得单调区间和极小值；（Ⅱ）函数存在三个零点，表示极大值g（0）大于零而极小值g（）小于零，得到m的范围，进而得到g（－1）和g（e）的范围，由此得出a，b，c满足的不等关系；（Ⅲ）由题意，，而，，∴，解出m的范围即可.

试题解析：（Ⅰ）（且）．

∴由，得；由，得，且． 1分

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 2分

∴. 1分

（Ⅱ）．

∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增．

∵函数存在三个零点．

∴．

∴ 3分

由．

∴． 1分

综上可知，，

结合函数单调性及可得：．

即，得证． 1分

（Ⅲ）由题意，只需

∵

由，∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∴． 2分

∵

由，∴函数在上单调递增，上单调递减．

∴． 2分

∴ ，不等式两边同乘以负数，得．

∴，即．

由，解得．

综上所述，存在这样的负数满足题意． 1分

考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，极值，范围问题，恒成立问题