Question

（2013•西城区一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

4

．若c=10，则△ABC的面积是

24

．

Answer 1

分析：由题意得acosA=bcosB，结合正弦定理化简得sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°．由于a、b不相等，得A≠B，因此A+B=90°，可得△ABC是直角三角形．根据c=10和

b

a

=

3

4

，利用勾股定理算出b=6且a=8，即可得到△ABC的面积．

解答：解：∵

cosA

cosB

=

b

a

，∴acosA=bcosB，结合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B
∵A、B是三角形的内角
∴2A=2B或2A+2B=180°，可得A=B或A+B=90°
∵

b

a

=

3

4

，得a、b的长度不相等
∴A=B不成立，只有A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°
因此，△ABC是直角三角形
设b=3x，a=4x，可得c=

a2+b2

=5x=10
∴x=2，于是b=6且a=8，
由此可得△ABC的面积是S=

1

2

ab=

1

2

×8×6=24
故答案为：24

点评：本题给出△ABC的边角关系，叫我们判断三角形的形状并求三角形的面积，着重考查了利用正弦定理解三角形、诱导公式和二倍角正弦的公式等知识，属于中档题．